You are currently browsing the category archive for the ‘Χημεία Γ΄Λυκείου – Οξέα / Βάσεις / Ιοντική Ισορροπία’ category.

Στο πείραμα στο video παρουσιάζεται η ογκομέτρηση ενός ισχυρού οξέος (HCl, αγνώστου συγκέντρωσης) με μία ισχυρή βάση (NaOH, γνωστής συγκέντρωσης (Molarity)). Με τον τρόπο αυτό μπορεί να προσδιορισθεί η συγκέντρωση (Molarity) του HCl στο διάλυμα του οξέος (ή διαφορετικά γίνεται προσδιορισμός του τίτλου του οξέος).

 Τα βασικά βήματα στο πείραμα / παρουσίαση είναι:

  1.  Σε κωνική φιάλη προστίθενται 20 ml διαλύματος HCl αγνώστου συγκέντρωσης
  2. Στην φιάλη προστίθενται 2 σταγόνες κατάλληλου δείκτη (ο δείκτης πρέπει να αλλάζει χρώμα όταν το pH του διαλύματος γίνεται ουδέτερο, μόλις επιτευχθεί η εξουδετέρωση). Στην συγκεκριμένη περίπτωση ο δείκτης είναι άχρωμος σε όξινο περιβάλλον αλλά γίνεται ροζ σε αλκαλικό περιβάλλον)
  3. Σε προχοίδα προστίθεται διάλυμα NaOH γνωστής συγκέντρωσης (Molarity)
  4. Το διάλυμα NaOH προστίθεται στο οξύ γρήγορα αρχικά και σταγόνα-σταγόνα όταν το χρώμα του διαλύματος γίνεται ροζ. Στο σημείο που το διάλυμα γίνεται για πρώτη φορά ρόζ σταματάει η προσθήκη διαλύματος NaOH.
  5. Στο σημείο αυτό διαβάζουμε στην προχοίδα την ένδειξη του καταναλωθέντος διαλύματος NaOH. Στο σημείο ακριβώς αυτό έχει επιτευχθεί η εξουδετέρωση του ΗCl από το NaOH (το σημείο ονομάζεται ισοδύναμο σημείο). Στην συγκεκριμένη περίπτωση απαιτήθηκαν 46,02 ml διαλύματος ΝaOH για την εξουδετέρωση των 20 ml διαλύματος HCl

  6. Στο ισοδύναμο σημείο ισχύει mol HCl (nHCl) = mol NaOH (nNaOH 

Η θεωρία στο άρθρο αυτό προέρχεται από την ενότητα 2.1.4 του βιβλίου  «Γενική Χημεία Γ΄ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης» – Κ. Καλαματιανός σελίδα 307.   Λεπτομερής παρουσίαση του βιβλίου, αποσπάσματά του και τρόποι αγοράς δίνονται στον ιστότοπο:

  https://sites.google.com/site/kalamatianosbooks  

 Το βιβλίο διατίθετα στον παραπάνω ιστότοπο σε ειδική προνομιακή τιμή.

  

 Το βιβλίο διατίθεται στα παρακάτω βιβλιοπωλεία (μεταξύ άλλων):  Ιανός (Σταδίου 24, Αθήνα  –  Αριστοτέλους 7, Θεσ/νίκη), Κορφιάτης (Ιπποκράτους 6, Αθήνα) , Γρηγόρη (Σόλωνος 71, Αθήνα) ΕλευθερουδάκηςΠατάκης, Σαββάλας-Βιβλιορυθμός (Ζωοδ. Πηγής 18 & Σόλωνος, Αθήνα), «Βιβλιοεπιλογή» Γ.Χ.  Αναστασάκης (Σόλωνος 110, Αθήνα) , Βιβλιοχώρα (Χαριλάου Τρικούπη 49, Αθήνα), ΒΕΡΓΙΝΑ, ΨΑΡΑΣ (Θεσ/νίκη), ΠΑΙΔΕΙΑ (Κανάρη 11, Λάρισα).

Σε πολλές περιπτώσεις έχουμε μιλήσει για την συγκέντρωση ενός οξέος ή μίας βάσης σε ένα διάλυμα.

Πώς όμως προσδιορίζεται η συγκέντρωση ενός διαλύματος οξέος ή βάσης;

 Ο ποιο συνηθισμένος τρόπος είναι με την χρήση ενός άλλου διαλύματος βάσης ή οξέος γνωστής συγκέντρωσης (ονομάζεται πρότυπο διάλυμα) που αντιδρά με μία αντίδραση γνωστής στοιχειομετρίας με το οξύ ή την βάση αντίστοιχα στο διάλυμα του οποίου θέλουμε να προσδιορίσουμε την συγκέντρωση. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται ογκομέτρηση.

 Ογκομέτρηση είναι η διαδικασία ποσοτικού προσδιορισμού μίας ουσίας με μέτρηση του όγκου διαλύματος γνωστής συγκέντρωσης (πρότυπου διαλύματος) που χρειάζεται για την πλήρη αντίδραση με την ουσία.

 Ως παράδειγμα μπορούμε να θεωρήσουμε τον προσδιορισμό της συγκέντρωσης διαλύματος ΗCl με διάλυμα ΝaOH γνωστής συγκέντρωσης για παράδειγμα 0,1 Μ. Για να προσδιορίσουμε την συγκέντρωση του διαλύματος ΗCl τοποθετούμε συγκεκριμένο όγκο του για παράδειγμα 20 ml σε κωνική φιάλη (δες Σχήμα 2-20). To διάλυμα γνωστής συγκέντρωσης ΝaOH τοποθετείται σε προχοίδα και προστίθεται σιγά – σιγά στο διάλυμα ΗCl μέχρι η αντίδραση εξουδετέρωσης μεταξύ ΝaOH και HCl να ολοκληρωθεί. Το σημείο στο οποίο στοιχειομετρικά ίσες ποσότητες ΗCl και ΝaOH έχουν αντιδράσει ονομάζεται ισοδύναμο σημείο.

 Iσοδύναμο σημείο είναι το σημείο της ογκομέτρησης, όπου έχει αντιδράσει πλήρως η ουσία (στοιχειομετρικά) με ορισμένη ποσότητα προτύπου διαλύματος.

Ο εντοπισμός του ισοδύναμου σημείου γίνεται με την βοήθεια πρωτολυτικών δεικτών. Oι δείκτες αποκαλύπτουν το ισοδύναμο σημείο με την αλλαγή του χρώματός τους. Το σημείο όπου παρατηρείται χρωματική αλλαγή του ογκομετρούμενου διαλύματος ονομάζεται τελικό σημείο ή πέρας της ογκομέτρησης.

Η ογκομέτρηση διαλύματος οξέος αγνώστου συγκέντρωσης όπως παραπάνω με πρότυπο διάλυμα βάσης ονομάζεται αλκαλιμετρία.

Αντίστοιχα η ογκομέτρηση βάσης αγνώστου συγκέντρωσης από πρότυπο διάλυμα οξέος ονομάζεται οξυμετρία.

  Στην ενότητα αυτή του βιβλίου «Γενική Χημεία» εξηγείται:

  1.  Πως προσδιορίζεται η συγκέντρωση ενός διαλύματος οξέος ή βάσης με την βοήθεια μίας άλλης βάσης ή οξέος αντίστοιχα γνωστής συγκέντρωσης. Η διαδικασία ποσοτικού προσδιορισμού μίας ουσίας με μέτρηση του όγκου διαλύματος γνωστής συγκέντρωσης (πρότυπου διαλύματος) που χρειάζεται για την πλήρη αντίδραση με την ουσία λέγεται ογκομέτρηση.
  2. Το ισοδύναμο σημείο ογκομέτρησης
  3. Η καμπύλη ογκομέτρησης και η χρησιμότητά της για αναλυτικούς σκοπούς
  4. Η ογκομέτρηση ισχυρού οξέος με ισχυρή βάση και δίνεται μία λυμένη σχετική άσκηση-παράδειγμα

Μέρος της ενότητας αυτής όπως εμφανίζεται στο βιβλίο δίνεται εδώ.

 

Στο πείραμα στο video παρακάτω παρουσιάζονται:

  • Δύο τρόποι παρασκευής ρυθμιστικών διαλυμάτων (οι αριθμητικοί υπολογισμοί δεν είναι κατ΄ανάγκη απαραίτητοι για την κατανόηση)
  • Προσδιορισμός του pH αγνώστου ρυθμιστικού διαλύματος με την χρήση ψηφιακού πεχαμέτρου

Η θεωρία στο άρθρο αυτό προέρχεται από την ενότητα 2.1.4 του βιβλίου  «Γενική Χημεία Γ΄ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης» – Κ. Καλαματιανός.   Λεπτομερής παρουσίαση του βιβλίου, αποσπάσματά του και τρόποι αγοράς δίνονται στον ιστότοπο:

  https://sites.google.com/site/kalamatianosbooks  

 Το βιβλίο διατίθετα στον παραπάνω ιστότοπο σε ειδική προνομιακή τιμή.

  

 Το βιβλίο διατίθεται στα παρακάτω βιβλιοπωλεία (μεταξύ άλλων):  Ιανός (Σταδίου 24, Αθήνα  –  Αριστοτέλους 7, Θεσ/νίκη), Κορφιάτης (Ιπποκράτους 6, Αθήνα) , Γρηγόρη (Σόλωνος 71, Αθήνα) ΕλευθερουδάκηςΠατάκης, Σαββάλας-Βιβλιορυθμός (Ζωοδ. Πηγής 18 & Σόλωνος, Αθήνα), «Βιβλιοεπιλογή» Γ.Χ.  Αναστασάκης (Σόλωνος 110, Αθήνα) , Βιβλιοχώρα (Χαριλάου Τρικούπη 49, Αθήνα), ΒΕΡΓΙΝΑ, ΨΑΡΑΣ (Θεσ/νίκη), ΠΑΙΔΕΙΑ (Κανάρη 11, Λάρισα).

 

Μέχρι τώρα έχουμε εξηγήσει με αρκετή λεπτομέρεια τα παρακάτω:

  •  Τι λέμε pH ενός διαλύματος (τον ορισμό του)
  •  Πώς υπολογίζεται το pH ενός διαλύματος
  •  Πώς μπορεί να «κρατηθεί» σχετικά σταθερό το pH ενός διαλύματος (χρήση ρυθμιστικού διαλύματος)

 Εκείνο όμως το οποίο δεν έχει συζητηθεί ακόμη είναι πώς μπορεί να μετρηθεί πειραματικά το pH ενός διαλύματος.

Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι:

  •  Χρήση δεικτών οξέων-βάσεων (δές σχετικό άρθρο και video)
  •  Χρήση πεχαμέτρου

 Tί ουσίες είναι οι δείκτες;

Οι δείκτες οξέων-βάσεων είναι συνήθως ασθενή οργανικά οξέα ή ασθενείς οργανικές βάσεις και έχουν την ιδιότητα να εμφανίζουν διαφορετικό χρώμα ανάλογα με το pH του διαλύματος μέσα στο οποίο βρίσκονται.

 Πώς προετοιμάζονται οι δείκτες στο εργαστήριο;

 Συνήθως είναι στερεές ουσίες οι οποίες διαλύονται σε κατάλληλο διαλύτη (π.χ. αιθανόλη) και μερικές σταγόνες του διαλύματος που προκύπτει προστίθεται στο διάλυμα του οποίου θέλουμε κατά προσέγγιση να προσδιορίσουμε το pH.  [1]

Ονομάζονται δείκτες γιατί όταν μερικές σταγόνες του διαλύματος τους προστίθενται σε ένα διάλυμα το χρώμα που παίρνει το διάλυμα δείχνει κατά προσέγγιση το pH του. 

 Πώς όμως δρα ο δείκτης και πώς εξηγείται ότι το χρώμα του αλλάζει καθώς μεταβάλλεται το pH του διαλύματος μέσα στο οποίο βρίσκεται;

 Ο δείκτης είναι ένα ασθενές οξύ ή μία ασθενής βάση που στην μη ιοντισμένη μορφή του έχει διαφορετικό χρώμα από ότι στην ιοντισμένη μορφή του. Για παράδειγμα εάν ο ιοντισμός του δείκτη παρασταθεί με την εξίσωση:

ΗΔ   +  H2O          Δ   +  H3O+                 [2.20]

τότε στην μη ιοντισμένη μορφή του (ΗΔ) έχει άλλο χρώμα (π.χ. κίτρινο) από ότι στην ιοντισμένη μορφή του (Δ) (που π.χ έχει κόκκινο χρώμα). Με σταδιακή προσθήκη οξέος η ισορροπία [2.20] μετατοπίζεται προς τα αριστερά οπότε το κίτρινο χρώμα επικρατεί στο διάλυμα. Αντίθετα, με προσθήκη βάσης η ισορροπία μετατοπίζεται προς τα δεξιά οπότε το κόκκινο χρώμα επικρατεί.

 Για να προσδιορισθεί η περιοχή αλλαγής χρώματος του δείκτη αρκεί να γραφεί η εξίσωση των Ηenderson-Hasselbach για την περίπτωσή του:

 pH = pka + log [Δ] / [HΔ]      [2.21]

όπου ka είναι η σταθερά ιοντισμού του δείκτη ΗΔ.

 Πειραματικά αποδεικνύεται ότι όταν 90% ή περισσότερο από τον δείκτη βρίσκεται ως ΗΔ (δηλαδή όταν [Δ] / [HΔ] ≈ 0,1) τότε το χρώμα του  ΗΔ επικρατεί στο διάλυμα και έτσι εμφανίζεται κίτρινο. Εάν 90% ή περισσότερο από τον δείκτη βρίσκεται ως Δ  (δηλαδή όταν [Δ] / [HΔ] ≈ 10) τότε το χρώμα του  Δ επικρατεί στο διάλυμα και έτσι εμφανίζεται κόκκινο. Αντικαθιστώντας τους παραπάνω λόγους στην εξίσωση των Ηenderson-Hasselbach βρίσκεται η περιοχή pH όπου αλλάζει χρώμα ο δείκτης:

 pH = pka + log [Δ] / [HΔ] = pka + log(0,1) = pka – 1       [2.22]

  και

 pH = pka + log [Δ] / [HΔ] = pka + log(10) = pka + 1        [2.23]

 

Όταν [Δ] = [HΔ] τότε pH = pka και το χρώμα του δείκτη είναι ένα «μείγμα» κίτρινου και κόκκινου δηλαδή εμφανίζεται να έχει πορτοκαλί χρώμα.

Aπό τις σχέσεις [2.22] και [2.23] προκύπτει ότι ο δείκτης αλλάζει χρώμα μεταξύ δύο μονάδων pH (όταν το pH είναι μεταξύ των τιμών pka + 1 και  pka – 1). 

 Γενικά λοιπόν για πρωτολυτικούς δείκτες τύπου ΗΔ με σταθερά ιοντισμού ka ισχύει:

 Αν pH < pka – 1, τότε επικρατεί το χρώμα του ΗΔ (μη ιοντισμένη μορφή)

 

Αν pH > pka + 1, τότε επικρατεί το χρώμα του Δ (ιοντισμένη μορφή)

 Αν pH = pka τότε το χρώμα είναι ένα «μείγμα» του χρώματος του ΗΔ και του Δ.

 Στο video που δίνεται παρακάτω παρουσιάζεται η σχετική θεωρία για τους δείκτες οξέος-βάσης καθώς και η χρήση τους για τον προσδιορισμό του pH διαλυμάτων:


[1] Δείκτες υπάρχουν όμως σήμερα και σε μορφή χαρτιού (γνωστό ως πεχαμετρικό χαρτί). Το χαρτί εμποτίζεται κατάλληλα με ένα ή περισσότερους δείκτες επιτρέποντας έτσι να προσδιορίζεται το pH σε μεγάλο εύρος. Οταν τοποθετηθεί το πεχαμετρικό χαρτί μέσα σε διάλυμα του οποίου θέλουμε να βρούμε το pH ο συνδυασμός των χρωμάτων που παίρνουν οι δείκτες στο χαρτί συγκρίνεται με κατάλληλο πίνακα συνδυασμού χρωμάτων και pH. Για παράδειγμα ο συνδυασμός χρωμάτων στο πεχαμετρικό χαρτί παρακάτω πλησιάζει περισσότερο προς τον συνδυασμό που αντιστοιχεί στον χρωματικό πίνακα σε pH = 3.

 

 


 

 

Στο video που δίνεται παρακάτω αποδεικνύεται πειραματικά η αντίσταση που προβάλλουν τα ρυθμιστικά διαλύματα στην μεταβολή του pH τους όταν προστίθενται σε αυτά οξέα ή βάσεις.

 Το πείραμα έχει ως εξής:

  • Στην αριστερή πλευρά της οθόνης η στερεή ουσία είναι το οξικό νάτριο CH3COONa (στα αγγλικά sodium acetate)
  • Στον δοκιμαστικό σωλήνα στην αριστερή πλευρά της οθόνης έχει τοποθετηθεί οξικό οξύ (CH3COOH, acetic acid στα αγγλικά)
  • Στον μεσαίο δοκιμαστικό σωλήνα προετοιμάζεται το ρυθμιστικό διάλυμα (buffer στα αγγλικά)  με την ανάμειξη οξικού οξέος CH3COOH και oξικού νατρίου CH3COONa. Όπως γνωρίζουμε από την θεωρία ένας τρόπος παρασκευής ρυθμιστικού διαλύματος είναι η ανάμειξη ενός ασθενούς οξέος και του άλατός
  • Στον δοκιμαστικό σωλήνα στην δεξιά πλευρά της οθόνης έχει τοποθετηθεί απεσταγμένο νερό για να γίνουν οι σχετικές συγκρίσεις στο pH.
  • Όλα τα αρχικά διαλύματα είναι άχρωμα
  • Σε όλους τους δοκιμαστικούς σωλήνες προστίθεται μερικές σταγόνες δείκτη o οποίος αλλάζει χρώμα ανάλογα με το pH του διαλύματος και συγκεκριμένα: i) όταν το διάλυμα είναι έντονα όξινο (pH ≈ 2) έχει χρώμα κόκκινο ενώ σε pH ≈ 5 έχει χρώμα ανοικτό κίτρινο     ii) όταν το διάλυμα είναι ουδέτερο (pH ≈ 7)  έχει χρώμα πράσινο και  iii)  όταν το διάλυμα είναι αλκαλικό (pH > 7) έχει χρώμα μώβ.
  • Κατόπιν προστίθενται 2 σταγόνες διαλύματος NaOH σε κάθε δοκιμαστικό σωλήνα. Το pH στον δοκιμαστικό σωλήνα με το απεσταγμένο νερό (δεξιά πλευρά της οθόνης) γίνεται αμέσως  pH > 7 και το διάλυμα παίρνει χρώμα μοβ. Το διάλυμα του CH3COOH (αριστερή πλευρά της οθόνης) δείχνει να μεταβάλλεται καθώς γίνεται λιγότερο όξινο αλλάζοντας ελαφρά χρώμα από κόκκινο προς ελαφρά κόκκινο ενώ το διάλυμα του ρυθμιστικού διαλύματος (μεσαίος δοκιμαστικός σωλήνας) δεν φαίνεται να επηρεάζεται (παραμένει κίτρινο δηλαδή ελαφρά όξινο).
  • Προστίθενται 5 σταγόνες διαλύματος NaOH σε όλους τους δοκιμαστικούς σωλήνες. Το χρώμα του διαλύματος στο σωλήνα με το απεσταγμένο νερό δεν μεταβάλλεται πλέον. Το χρώμα του διαλύματος στον δοκιμαστικό σωλήνα με το CH3COOH αλλάζει προοδευτικά πηγαίνοντας από ελαφρά κόκκινο προς το κίτρινο (pH ≈ 5) ενώ το χρώμα στον μεσαίο δοκιμαστικό σωλήνα δεν αλλάζει.
  • Προστίθενται και πάλι από 5 σταγόνες διαλύματος NaOH στους δοκιμαστικούς σωλήνες και παρατηρούμε αλλαγή μόνο σε αυτόν που περιέχει το CH3COOH. Το χρώμα του διαλύματος γίνεται μοβ δηλαδή το διάλυμα τελικά γίνεται αλκαλικό λόγω περίσσειας NaOH.
  • Προστίθεται και άλλο διάλυμα NaOH, αρκετά περισσότερο από ότι στο CH3COOH, προκειμένου τελικά να γίνει αλκαλικό το διάλυμα του ρυθμιστικού διαλύματος.

 

Γενικά λοιπόν αποδεικνύεται ότι τα ρυθμιστικά διαλύματα προβάλλουν αντίσταση στην μεταβολή του pH τους όταν σε αυτά προστίθενται μικρές αλλά υπολογίσιμες ποσότητες οξέος ή βάσης.

 Η ασκήση στο άρθρο αυτό προέρχεται από το βιβλίο  «Γενική Χημεία Γ΄ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης» – Κ. Καλαματιανός.   Λεπτομερής παρουσίαση του βιβλίου, αποσπάσματά του και τρόποι αγοράς δίνονται στον ιστότοπο:

  https://sites.google.com/site/kalamatianosbooks  

 Το βιβλίο διατίθετα στον παραπάνω ιστότοπο σε ειδική προνομιακή τιμή.

  

Η μεθοδολογία για ασκήσεις αυτού του τύπου δίνεται στην σελίδα 288 του βιβλίου.

Το βιβλίο διατίθεται στα παρακάτω βιβλιοπωλεία (μεταξύ άλλων):  Ιανός (Σταδίου 24, Αθήνα  –  Αριστοτέλους 7, Θεσ/νίκη), Κορφιάτης (Ιπποκράτους 6, Αθήνα) , Γρηγόρη (Σόλωνος 71, Αθήνα) ΕλευθερουδάκηςΠατάκης, Σαββάλας-Βιβλιορυθμός (Ζωοδ. Πηγής 18 & Σόλωνος, Αθήνα), «Βιβλιοεπιλογή» Γ.Χ.  Αναστασάκης (Σόλωνος 110, Αθήνα) , Βιβλιοχώρα (Χαριλάου Τρικούπη 49, Αθήνα), ΒΕΡΓΙΝΑ, ΨΑΡΑΣ (Θεσ/νίκη), ΠΑΙΔΕΙΑ (Κανάρη 11, Λάρισα).

 

Άσκηση – Παράδειγμα  #2-29  

Nα υπολογισθεί το pH ρυθμιστικού διαλύματος οξικού οξέος CH3COOH 0,15 M και του άλατός του CH3COONa 0,5 M (δίνεται ka ≈ 10-5 και log3 ≈ 0,5 ) 

  Λύση:

A’ τρόπος:

Θα υπολογίσουμε το pH ακολουθώντας την Μεθοδολογία #5 – Mέθοδο Α αφού πρόκειται για περίπτωση ασθενούς ηλεκτρολύτη και άλατός του.

BHMA  ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΣΗΜΕΙΩΣΗ
I   

 ΔΕΔΟΜΕΝΑ  [CH3COOH] = 0,15 M[CH3COOΝa ] = 0,5 Μ

ka ≈ 10-5

ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ   pH = ;

 

Γράφουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης.
II  α) Οι σχέσεις που συνδέουν τα δεδομένα με τα ζητούμενα είναι: pH = -log[H+]   (1)                  β) Oι κύριες ουσίες στο διάλυμα είναι: CH3COOH (ασθενές οξύ) και το  CH3COOΝa το οποίο ιοντίζεται πλήρως σε Na+ (δεν αντιδρά με το νερό, δεν ενεργεί ούτε σαν οξύ ούτε σαν βάση) και CH3COO  (συμπεριφέρεται σαν βάση στην αντίδρασή του με το νερό, συζυγής βάση του οξέος CH3COOH) και το H2O (ασθενές οξύ, πολύ ασθενέστερο οξύ από το CH3COOH οπότε ο ιοντισμός του δεν επηρεάζει σημαντικά το pH του διαλύματος).γ) Η αντίδραση ιοντισμού του άλατος CH3COOΝa δίνεται από:           

  CH3COOΝa   →   CH3COO  +     Na+     (2)      

 -0,5 mol/ℓ                 +0,5 mol/ℓ    +0,5 mol/ℓ

Η αντίδραση ιοντισμού του CH3COOH στο νερό δίνεται από:

             CH3COOH   +   H2O             CH3COO  +  Η3Ο+  (3)

H (3) είναι η σημαντικότερη αντίδραση ισορροπίας η οποία καθορίζει το pH του διαλύματος στην άσκηση (ka ≈ 10-5).

Υπάρχει και η ισορροπία αυτοϊοντισμού του νερού η οποία γίνεται ταυτόχρονα αλλά η σταθερά ισορροπίας kw = 10-14 υποδηλώνει ότι το νερό είναι πολύ ασθενέστερo οξύ από τo CH3COOH και επομένως η αντίδραση αυτή δεν καθορίζει το pH στην συγκεκριμένη άσκηση.

δ) Έστω χ mol/ℓ από τo CH3COOH ιοντίζονται. Ο πίνακας με τις αρχικές και τελικές συγκεντρώσεις των ουσιών στην ισορροπία είναι:

               CH3COOH   +   H2O  CH3COO      +      Η3Ο+      (3)

Αρχικά 0,15 Μ 0,5 Μ     [1] 0
Μεταβολή -x M +x           [2] +x M
Τελικά(στην xημική ισορροπία)  (0,15–x) M  (0,5+x) M  x M

 

ε) Για την σταθερά ιοντισμού της NH3 ισχύει:

ka = kCΗ3COOH = [CH3COO] . [Η3Ο+] / [CH3COOH] = 10-5        (4)

 III   Aπό την σχέση (4) και τις συγκεντρώσεις στην χημική ισορροπία από τον πίνακα:ka = kCΗ3COOH  = [CH3COO] . [Η3Ο+] / [CH3COOH]  =10-5   και ka = kCΗ3COOH = (0,5+x) . x / (0,15–x) =10-5    και επομένωςka = kCΗ3COOH = 0,5 . x / 0,15 = 10-5  και   x = [Η3Ο+] = 3 . 10-6 M     (5)

 Σημείωση: Το 0,5+x ≈ 0,5 και το 0,15-x ≈ 0,5 αφού ka/c = 10-5 /0,15 < 10-2

 IV    Eπομένως από την (1) και την (5)   έχουμε:pH = -log[H+] = -log(3.10-6) = -log3-log10-6 = -0,5-(-6) = 5,5

 

B’ τρόπος:

Θα υπολογίσουμε το pH ακολουθώντας την εξίσωση των Henderson-Hasselbalch. Η συγκέντρωση του οξέος και της συζυγούς βάσης στην ισορροπία μπορούμε να θεωρήσουμε ότι θα είναι περίπου ίδια με την αρχική καθώς το ka < 10-2. Οι βασικές προϋποθέσεις επομένως ισχύουν.

Εάν ελέγξουμε τις συγκεντρώσεις του οξέος και της συζυγούς βάσης στην ισορροπία στην επίλυση με τον Α′ τρόπο θα διαπιστώσουμε ότι πραγματικά είναι περίπου ίσες με τις αρχικές καθώς το x = 3 . 10-6 και επομένως [CH3COOH] = 0,15 – x = 0,15 – 3.10-6  ≈ 0,15.

pH = pka + log ([συζυγής βάση] / [οξύ]) = -log(10-5) + log (0,5 / 0,15) = 5 + 0,52  ≈ 5,5  

Όμοιες ασκήσεις:  141, 142 (περίπτωση που στο ρυθμιστικό διάλυμα το συζυγές ζεύγος είναι ασθενής βάση Β / συζυγές οξύ ΒΗ+).

 

Όμοιες ασκήσεις: 194, 197


 [1]

Προέρχεται από τον ιοντισμό του CH3COOΝa (αντίδραση (2)).

 [2]

Προέρχεται από τον ιοντισμό του CH3COOH (αντίδραση (3)).

Οι ασκήσεις στο άρθρο αυτό προέρχονται από το βιβλίο  «Γενική Χημεία Γ΄ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης» – Κ. Καλαματιανός.   Λεπτομερής παρουσίαση του βιβλίου, αποσπάσματά του και τρόποι αγοράς δίνονται στον ιστότοπο:

  https://sites.google.com/site/kalamatianosbooks  

 Το βιβλίο διατίθετα στον παραπάνω ιστότοπο σε ειδική προνομιακή τιμή.

  

 Διατίθεται επίσης στα εξής  βιβλιοπωλεία (μεταξύ άλλων): Ιανός (Αθήνα – Θεσ/νικη), Κορφιάτης,  ΓρηγόρηΕλευθερουδάκηςΠατάκης,  Αναστασάκης,  Βιβλιοχώρα.

1.    Όταν ένα ασθενές μονοπρωτικό οξύ ογκομετρείται με ισχυρή βάση το pH στο ισοδύναμο σημείο πάντοτε είναι:  i) μεγαλύτερο του 7    ii) ίσο με το 7   iii) μικρότερο του 7   iv) ισο με το pKa του ασθενούς οξέος  v) ίσο με 14-pkb

 Λύση:

 Η απάντηση (i) είναι η σωστή. Το pH στο ισοδύναμο σημείο ογκομέτρησης ασθενούς μονοπρωτικού οξέος από ισχυρή βάση είναι πάντοτε μεγαλύτερο του 7. Ας υποθέσουμε ότι ογκομετρούμε 50 ml διαλύματος οξικού οξέος 0,1 Μ χρησιμοποιώντας την ισχυρή βάση NaOH συγκέντρωσης 0,1 Μ.

 mol του οξικού οξέος στο διάλυμα = 50 ml  x 0,1 Μ / 1000 ml = 0,005 mol CH3COOH

 Επομένως για την πλήρη εξουδετέρωσή τους απαιτούνται 0,005 mol NaOH. H αντίδραση εξουδετέρωσης δίνεται από:

 CH3COOH  +  NaOH   →   CH3COONa  +   H2O

                       -0,005 mol      -0,005 mol        +0,005 mol

 Μετά την εξουδετέρωση στο διάλυμα υπάρχει μόνο το άλας CH3COONa το οποίο ιοντίζεται πλήρως στο νερό και δίνει:

  • Νa+ το οποίο δεν επηρεάζει το pH (το pH επομένως θα ήταν θεωρητικά αυτό του απεσταγμένου νερού αν υπήρχαν μόνο τα ιόντα Na+ στο διάλυμα, δηλαδή pH = 7) και
  • CH3COO που είναι ασθενής βάση και αυξάνει την τιμή του pH του διαλύματος.  Επομένως το pH του διαλύματος θα είναι μεγαλύτερο του 7.

 

Σχήμα 1: α) Kαμπύλη ογκομέτρησης για την ογκομέτρηση διαλύματος ασθενούς οξέος (50 ml οξικού οξέος CH3COOH 0,1 M) από διάλυμα ισχυρής βάσης (ΝaOH 0,1 M). Παρατηρείστε ότι η τιμή του pH στο ισοδύναμο σημείου είναι μεγαλύτερη του 7 και συγκεκριμένα pH = 8.7 β) Η μπλε καμπύλη δείχνει την μεταβολή της τιμής του pH καθώς πρότυπο διάλυμα NaOH 0,1 M προστίθεται σε 50 ml διαλύματος CH3COOH 0,1 M. Η μαύρη καμπύλη δείχνει την μεταβολή της τιμής του pH καθώς πρότυπο διάλυμα NaOH 0,1 M προστίθεται σε 50 ml διαλύματος HCl 0,1 M. Παρατηρείστε τις διαφορές!

 Για τον λεπτομερή υπολογισμό του pH του διαλύματος δές Άσκηση – Παράδειγμα 2-38 στο βιβλίο « Γενική Χημεία για την Γ΄ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης » του Κ. Καλαματιανού. Το τελικό pH του διαλύματος είναι pH = 8,7.

2. Ένα ρυθμιστικό διάλυμα περιέχει ίσες συγκεντρώσεις του ασθενούς μονοπρωτικού οξέος ΗΑ και της συζυγούς του βάσης Α.  Εάν η τιμή της ka είναι 10-9 Μ το pH του ρυθμιστικού διαλύματος είναι: i) 13    ii) 11   iii) 9   iv) 7  v) 5

Λύση:

Καθώς η ka  = 10-9 Μ < 10-2 μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ισχύει στην περίπτωση αυτή η εξίσωση των Henderson-Hasselbalch:

pH = pka + log [[A-] / [HA]]          (1)

Αλλά αφού [Α-] = [ΗΑ], log [[A-] / [HA]] = log [[A-] / [A-]] = log 1 = 0        (2)

Από την (1) και (2) προκύπτει: pH =  pka = -logka = -log(10-9) = 9

Η θεωρία στο άρθρο αυτό προέρχεται από την ενότητα 2.1.4 του βιβλίου  «Γενική Χημεία Γ΄ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης» – Κ. Καλαματιανός.   Λεπτομερής παρουσίαση του βιβλίου, αποσπάσματά του και τρόποι αγοράς δίνονται στον ιστότοπο:

  https://sites.google.com/site/kalamatianosbooks  

 Το βιβλίο διατίθετα στον παραπάνω ιστότοπο σε ειδική προνομιακή τιμή.

  

 Διατίθεται επίσης στα εξής  βιβλιοπωλεία (μεταξύ άλλων): Ιανός (Αθήνα – Θεσ/νικη), Κορφιάτης,  ΓρηγόρηΕλευθερουδάκηςΠατάκης,  Αναστασάκης,  Βιβλιοχώρα.

Σκοπός σε αυτή την ενότητα είναι να:

 i)      Περιγραφεί η επίδραση κοινών ιόντων στον ιοντισμό ασθενών οξέων και ασθενών βάσεων σε υδατικά διαλύματα και να παρουσιασθεί η μέθοδος με την οποία υπολογίζονται οι συγκεντρώσεις των ουσιών σε τέτοια διαλύματα (διαλύματα ασθενών οξέων ή βάσεων και των κοινών ιόντων τους).

ii)      Εξηγηθεί γιατί το απεσταγμένο νερό δεν μπορεί να αντισταθεί σε μεταβολές του pH του όταν προστίθεται σε αυτό οξύ ή βάση σε αντίθεση με τα ρυθμιστικά διαλύματα. Να παρουσιασθεί ο τρόπος με τον οποίο τα ρυθμιστικά διαλύματα αντιστέκονται σε σημαντική μεταβολή του pH τους όταν προστίθεται σε αυτά οξύ ή βάση. (Δές το σχετικό πείραμα σε video)             

iii)     Παρουσιασθεί ο τρόπος με τον οποίο υπολογίζεται το pH ενός ρυθμιστικού διαλύματος από τις συγκεντρώσεις του συζυγούς ζεύγους και τις τιμές για τα ka και kb.

iv)     Παρουσιασθεί πώς προετοιμάζεται ένα ρυθμιστικό διάλυμα με συγκεκριμένο pH.

v)      Παρουσιασθεί πώς μεταβάλλεται η τιμή του pH ενός ρυθμιστικού διαλύματος όταν προστίθεται σε αυτό οξύ ή βάση.

vi)    Εξηγηθεί πώς λειτουργεί ένας δείκτης οξέος-βάσης

vii)   Εξηγηθεί πώς υπολογίζεται το pH του διαλύματος σε ογκομετρήσεις ισχυρού οξέος – ισχυρής βάσης, ασθενούς οξέος – ισχυρής βάσης, ασθενούς  βάσης – ισχυρού οξέος

viii)  Περιγραφεί πώς εξάγονται πολύτιμες πληροφορίες από μία καμπύλη ογκομέτρησης οξέος – βάσης (όπως το αρχικό pH του διαλύματος, το ισοδύναμο σημείο, επιλογή του κατάλληλου δείκτη)

Όταν θα έχεις ολοκληρώσει την μελέτη αυτής της ενότητας θα πρέπει να είσαι σε θέση να:

  •  Προβλέπεις αλλά και να υπολογίζεις πώς η προσθήκη κοινού ιόντος επηρεάζει το pH ενός υδατικού διαλύματος ενός ασθενούς οξέος ή μιάς ασθενούς βάσης.
  • Εξηγήσεις πώς ένα ρυθμιστικό διάλυμα συγκεκριμένου pH προετοιμάζεται και πώς λειτουργεί όταν προστίθεται σε αυτό οξύ ή βάση.
  • Υπολογίσεις την μεταβολή του pH ενός ρυθμιστικού διαλύματος, του οποίου η σύνθεση είναι γνωστή, όταν προστίθενται σε αυτό μικρές ποσότητες ισχυρού οξέος ή ισχυρής βάσης.
  • Υπολογίσεις τις συγκεντρώσεις των ουσιών στο ρυθμιστικό διάλυμα ώστε η μεταβολή του pH του να βρίσκεται μέσα σε συγκεκριμένο εύρος όταν προστίθεται σε αυτό συγκεκριμένη ποσότητα οξέος ή βάσης.
  • Χρησιμοποιήσεις πίνακες δεικτών όπου φαίνεται η περιοχή του pH που αλλάζουν χρώμα για να προβλέψεις το pH ενός διαλύματος
  • Διαλέξεις ένα κατάλληλο δείκτη για μία συγκεκριμένη ογκομέτρηση
  • Υπολογίσεις το pH σε κάθε σημείο (συμπεριλαμβανομένου και του ισοδύναμου σημείου) σε ογκομετρήσεις ισχυρού οξέος – ισχυρής βάσης, ασθενούς οξέος – ισχυρής βάσης, ασθενούς  βάσης – ισχυρού οξέος

 

Ρυθμιστικά Διαλύματα   

Το σχετικό απόσπασμα απο το βιβλίο δίνεται εδώ

Οι ασκήσεις στο άρθρο αυτό προέρχονται από την ενότητα 2.1.4 του βιβλίου  «Γενική Χημεία Γ΄ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης» – Κ. Καλαματιανός.   Λεπτομερής παρουσίαση του βιβλίου, αποσπάσματά του και τρόποι αγοράς δίνονται στον ιστότοπο:

  https://sites.google.com/site/kalamatianosbooks  

 Το βιβλίο διατίθετα στον παραπάνω ιστότοπο σε ειδική προνομιακή τιμή.

  

 Διατίθεται επίσης στα εξής  βιβλιοπωλεία (μεταξύ άλλων): Ιανός (Αθήνα – Θεσ/νικη), Κορφιάτης,  ΓρηγόρηΕλευθερουδάκηςΠατάκης,  Αναστασάκης,  Βιβλιοχώρα.

Άσκηση – Παράδειγμα  #2-28  

Nα υπολογισθεί το pH σε διάλυμα που προκύπτει από την ανάμειξη 30 cm3 διαλύματος ΗCl 1M και 30 cm3 διαλύματος ΝΗ3 2Μ. Κατά την ανάμειξη δεν μεταβάλλεται ο συνολικός όγκος (δίνεται kb ≈ 10-5

  

  Λύση:

 Aρχικά δεν φαίνεται ότι πρόκειται για άσκηση ασθενούς βάσης και άλατός της με το οποίο έχει κοινό ιόν. Η αντίδραση όμως του ισχυρού οξέος ΗCl με την ασθενή βάση ΝΗ3 δίνει το άλας ΝΗ4Cl το οποίο ιοντίζεται πλήρως στο νερό σε ΝΗ4+ και Cl. Εάν μετά την αντίδραση οξέος και βάσης υπάρχει στο διάλυμα και NH3 που δεν έχει αντιδράσει τότε οι κύριες ουσίες στο διάλυμα θα είναι NH3 και ΝΗ4Cl. Στην περίπτωση αυτή έχουμε μία άσκηση ασθενούς βάσης και άλατός της με κοινό ιόν το ΝΗ4+ και ακολουθούμε την Μεθοδολογία #5. Διαφορετικά μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχουμε μία άσκηση άλατος που προκύπτει από την αντίδραση ισχυρού οξέος και ασθενούς βάσης που υδρολύεται και ακολουθούμε την Μεθοδολογία #3 στην σελίδ 249 . Τα αρχικά όμως βήματα και στις δύο περιπτώσεις είναι ίδια.

 

BHMA 

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

I   

 ΔΕΔΟΜΕΝΑ VHCl = 30 cm3  VNH3 = 30 cm3  [ΗCl] = 1M, [ΝΗ3 ] = 2Μ   kb = kΝΗ3 ≈ 10-5
ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ   pH = ;

 

Γράφουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης.
 II   α) Οι σχέσεις που συνδέουν τα δεδομένα με τα ζητούμενα είναι:  pOH = -log[OH]   (1)  και  pH + pOH = 14     (2)O όγκος του διαλύματος VΔ μετά την ανάμειξη είναι:VΔ = VHCl  + VNH3 = 30 cm3 + 30 cm3 = 60 cm3    (3) Τα mol του HCl και της NH3 στο διάλυμα των 60 cm3 που προκύπτει από την ανάμειξή  τους υπολογίζονται ως εξής: Υπολογίζουμε τα mol του «καθαρού» ΗCl στα 30 cm3 διαλύματος ΗCl 1M είναι:Στα 1000 cm3 διαλύματος ΗCl υπάρχει 1 mol «καθαρού» ΗCl  “      30  cm3 διαλύματος ΗCl υπάρχει  α = ; mol «καθαρού» ΗCl α = 3 . 10-2 mol «καθαρού» ΗClEπομένως: Τα mol του HCl nHCl  στο διάλυμα των 60 cm= 3 . 10-2 mol    (4)Τα mol της NH3  nNH3 στο διάλυμα των 60 cm= 6 . 10-2 mol    (5)Η αντίδραση του HCl με την NH3 δίνεται από:                               ΗCl  +  NH3    →       NH4+  +   Cl   (6)                       -0,03 mol   -0,03 mol         0,03 mol  0,03 molΑπό την παραπάνω αντίδραση φαίνεται ότι παράγονται 0,03 mol NH4Cl το οποίο ιοντίζεται πλήρως σε NH4+ και Cl.Aπό τις (4), (5) και (6) προκύπτει ότι η NH3 βρίσκεται σε περίσσεια καθώς 3 . 10-2 mol mol HCl αντιδρούν πλήρως με 3 . 10-2 mol NH3. Τα mol της NH3 σε περίσσεια, δηλαδή τα mol της NH3 που δεν αντιδρούν είναι:nNH3 στο διάλυμα των 60 cmσε περίσσεια = 6 . 10-2 mol – 3 . 10-2 mol= 3 . 10-2 mol NH3

H συγκέντρωση της NH3 στο διάλυμα των 60 cmείναι:

   Στα 60 cm3 διαλύματος υπάρχουν 0,03 mol NH3

  “   1000 cm3 διαλύματος υπάρχουν   z = ; mol NH3 Þ

z = [NH3] = 0,5 M  (7)

 

Όμοια από την (6) προκύπτει ότι η:

 [NH4Cl] = 0,5 M στο διάλυμα των 60 cm3   (8)

Επομένως το πρόβλημα ανάγεται στην περίπτωση διαλύματος που περιέχει  ασθενή βάση (την NH3) με συγκέντρωση [NH3] = 0,5 M και το άλας της [NH4Cl] = 0,5 M  με το οποίο έχει κοινό ιόν το NH4+ (θυμηθείτε ότι η NH3 αντιδρά με το νερό και δίνει επίσης NH4+). Επομένως ακολουθούμε την Μεθοδολογία #5.

β) Oι κύριες ουσίες επομένως στο διάλυμα είναι: NH3 (ασθενής βάση) και το  NH4Cl το οποίο ιοντίζεται πλήρως στο νερό και δίνει NH4+ (συμπεριφέρεται σαν οξύ στην αντίδρασή του με το νερό) και Cl (δεν αντιδρά με το νερό).

γ) Η αντίδραση ιοντισμού του άλατος NH4Cl  δίνεται από:

                                            NH4Cl           →            NH4+  +     Cl     (9)

                                      -0,5 mol/ℓ                 +0,5 mol/ℓ    +0,5 mol/ℓ

Η αντίδραση ιοντισμού της NH3 στο νερό δίνεται από:

NH3   +   H2O        NH4+   +  ΟΗ  (10)

H (10) είναι η σημαντικότερη αντίδραση ισορροπίας η οποία καθορίζει το pH του διαλύματος στην άσκηση (kb = kΝΗ3 ≈ 10-5).

Υπάρχει και η ισορροπία αυτοϊοντισμού του νερού η οποία γίνεται ταυτόχρονα αλλά η σταθερά ισορροπίας kw = 10-14 υποδηλώνει ότι το νερό είναι πολύ ασθενέστερη βάση από την NH3 και επομένως η αντίδραση αυτή δεν καθορίζει το pH στην συγκεκριμένη άσκηση.

δ) Έστω χ mol/ℓ από την NH3 ιοντίζονται. Ο πίνακας με τις αρχικές και τελικές συγκεντρώσεις των ουσιών στην ισορροπία είναι:

                                   NH3   +  H2O         →       NH4+   +    ΟΗ   (10)

Αρχικά 0,5 Μ 0,5 Μ       0
Μεταβολή -x M +x Μ           +x M
Τελικά(στην xημική ισορροπία) (0,5–x) M (0,5+x) M x M

 ε) Για την σταθερά ιοντισμού της NH3 ισχύει:

kb = kΝΗ3 = [NH4+] . [ΟΗ] / [NH3] = 10-5        (11)

 III   Aπό την σχέση (11) και τις συγκεντρώσεις στην χημική ισορροπία από τον πίνακα:kb = kΝΗ3 = [NH4+] . [ΟΗ] / [NH3] =10-5   και  kb = kΝΗ3 = (0,5+x) . x / (0,5–x) =10-5    καιkb = kΝΗ3 = 0,5 . x / 0,5 = 10-5  Þ  x = [ΟΗ] = 10-5 M     (12) Σημείωση: Το 0,5+x ≈ 0,5  και το 0,5-x ≈ 0,5  αφού kb/c = 10-5 /5 .10-1 < 10-2Eπομένως από την (1) και την (12) έχουμε:  pOH = -log[OH] = -log(10-5) = 5    (13)
 IV   Eπομένως  απο την (2) και την (13) έχουμε:  pH = 14 – pOH = 14 – 5 = 9  

 

Όμοιες ασκήσεις: 190, 191 


 

Είναι γνωστό ότι η κατανόηση του μαθήματος της Χημείας παρουσιάζει σε αρκετές περιπτώσεις δυσκολίες και ιδιαιτερότητες. Με το βιβλίο αυτό επιδιώκουμε να βοηθήσουμε όσους πραγματικά ενδιαφέρονται για την κατανόηση της ύλης της  Χημείας και επιζητούν την διαλεύκανση των σημείων που παρατηρούνται συνήθως νοηματικά κενά.  Η ολοκληρωμένη θεωρητική κατάρτιση σε συνδυασμό με την εξάσκηση του αναγνώστη στην λύση ασκήσεων είναι ο βασικός στόχος μας γιατί πιστεύουμε ότι συντελούν στην υπέρβαση των δυσκολιών που προκύπτουν στην κατανόηση της Χημείας και στην συνεπακόλουθη επιτυχία στις εξετάσεις.

 

Σχήμα  20,5 x 29,2

Eξώφυλλο / Εσωτερικό : Τετραχρωμία

Σελίδες: 417

ΙSBN 978-960-93-2031-3

 

 Το βιβλίο απευθύνεται κυρίως στο υποψήφιο για την τριτοβάθμια εκπαίδευση αλλά και σε όσους ενδιαφέρονται να καταλάβουν ή να θυμηθούν βασικές έννοιες στην Χημεία και περιλαμβάνει:

  •  Όλη την αντίστοιχη θεωρία του σχολικού βιβλίου ενότητα προς ενότητα. Η ύλη παρουσιάζεται αναλυτικά, χωρίς λογικά άλματα και σε μορφή συζήτησης (με παραδείγματα από την καθημερινή ζωή, με ερωτήσεις-απαντήσεις, επεξηγήσεις καθώς και με λυμένα παραδείγματα ασκήσεων). Στόχος είναι να μπορούν να προσεγγίσουν νοηματικά την ύλη με μεγαλύτερη ευκολία οι αναγνώστες
  • Περισσότερα από 80 σχήματα/εικόνες έτσι ώστε να διευκολύνεται η κατανόηση, η σύνδεση και η αναπαράσταση των εννοιών που υπάρχουν στο κείμενο
  • Την θεωρία των ενοτήτων παρουσιασμένη και με συνοπτικό τρόπο σε μία σελίδα σε μορφή διαγραμμάτων ροής (για την επανάληψη της ύλης κάθε ενότητας).
  • Την ύλη προηγούμενων τάξεων που θεωρείται απαραίτητη για την κατανόηση των ενοτήτων (δίνεται με μορφή ενθέτου θεωρίας και με συνοπτικό τρόπο)
  • Μεγάλο αριθμό μεθοδολογικά λυμένων ασκήσεων (400 λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα) ώστε να βοηθηθεί η εμπέδωση της ύλης κάθε ενότητας ή ομάδας συγγενών ενοτήτων  Συμπεριλαμβάνονται θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων της τελευταίας δεκαετίας
  • Λυμένες ασκήσεις – παραδείγματα στο τέλος κάθε ενότητας και η διασύνδεσή τους με αντίστοιχες ασκήσεις στο τέλος κάθε κεφαλαίου

Το βιβλίο διατίθεται στα παρακάτω βιβλιοπωλεία (μεταξύ άλλων):  Ιανός (Αθήνα – Θεσ/νικη), ΚορφιάτηςΓρηγόρη, ΕλευθερουδάκηςΠατάκης,  Σαββάλας-Βιβλιορυθμός, «Βιβλιοεπιλογή» Γ.Χ.  Αναστασάκης, Βιβλιοχώρα, Βεργίνα, Ψαράς (ΘΕΣ/NIKH), Παιδεία (ΛΑΡΙΣΑ).

 Λεπτομερής περιγραφή του βιβλίου και αποσπάσματα του δίνονται στον παρακάτω ιστότοπο όπου είναι δυνατό να αγορασθεί και σε ειδική προνομιακή τιμή (περιορισμένος αριθμός βιβλίων).  Για τους τρόπους αγοράς του βιβλίου πατήστε εδώ.  Τα έξοδα αποστολής είναι δωρεάν εντός Ελλάδας για απλό δέμα.

 https://sites.google.com/site/kalamatianosbooks

Ιουλίου 2019
Δ Τ Τ Π Π Σ Κ
« Ιαν.    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031  

Άρθρα

Αρχείο Άρθρων

Blog Statistics

  • 82.036 hits (απο 20-09-2010)
Αρέσει σε %d bloggers: